ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день рынок производных финансовых инструментов является важной и бурно развивающейся частью мирового фондового рынка.
По итогам II полугодия 2006 года объём торгов фьючерсами и опционами вырос более чем в 8 раз по сравнению с I полугодием 2006 года и превысил 1,9 трлн рублей (порядка $70 млрд). Для сравнения, оборот на российском валютном рынке увеличился за это же время в 1,8 раз, а на рынке акций - в 4,5 раза.
Особенно широкое распространение получили операции с опционами. Изначально опционы задумывались как инструмент, предназначенный для страхования результатов деятельности крупных игроков, таких как банки или торговые дома. Существовали как реальные поставки товаров, так и чисто финансовые операции. И в настоящее время опционы не утратили своего первоначального значения. Оно интересно тем инвесторам, которые не гонятся за высокой доходностью, и которым важнее всего снижение рисков. Такие операции называются операциями хеджирования. Принцип хеджирования - заключить сделку на срочном рынке на поставку акций в будущем, зафиксировав цены сделки в момент покупки/продажи контракта. Стратегия хеджирования - пожертвовать возможностью получения выгоды от благоприятного изменения цены, с целью получения защиты от неблагоприятного изменения цены. Однако вскоре выяснилось, что опционы хорошо подходят и для спекулятивных целей. После этого операциями с опционами стали заниматься и мелкие инвесторы. Очень многие, попробовав работать с опционами, практически перестают использовать фьючерсы и сделки с реальным активом в повседневной работе. Такая притягательность опционов объясняется рядом их замечательных свойств.
Прежде всего, это такая краеугольная характеристика опционов, как волатильность. С ее помощью описывают изменчивость цены актива. Использование волатильности позволяет получать прибыль, даже если цена на актив не изменяется. Аналогичного свойства нет больше ни у одного финансового инструмента. Периодические колебания волатильности носят более регулярный характер, чем колебания актива, при повышении волатильности опционы растут в цене. Поэтому очень распространены торговые методики продажи дорогих опционов в периоды высокой волатильности и покупки дешевых опционов в периоды низкой волатильности.
Другая особенность опционов - это обилие их различных комбинаций. У обычных людей опцион ассоциируется именно с этим их свойством. Так, широко распространено мнение, что работа в том и заключается, чтобы в поисках недооцененных комбинаций перебрать все возможные варианты. Отчасти это верно, однако перебрать все комбинации просто невозможно, и у каждого трейдера есть свои методики и "поля деятельности", с которыми они и работают.
Применение комбинаций опционов позволяет делать ставки на какое-либо особенное поведение актива. Например, на то, что он останется в каком-то ценовом интервале в течение ограниченного времени, в предположении, что скоро будет сильное движение и при этом неизвестно его направление, что скоро на рынке изменится представление о будущем росте и т. д. Подобные возможности отсутствуют при использовании простых покупок или продаж базового актива.
К недостаткам опционов необходимо отнести их относительно низкую ликвидность по сравнению с ликвидностью актива. Это порождает проблемы с открытием, изменением и закрытием позиций. По этой же причине при работе с опционами не получается заключать сделки на большие суммы .
Таким образом, один из основных вопросов, относящихся к расчётам опционов, заключается в следующем: по какой цене опционы должны продаваться. Понятно, что их продавец желает получить «побольше», покупатель же хочет заплатить «поменьше».
Естественно, что эта «справедливая» цена должна быть «разумной». А именно, покупатели должны понимать, что покупка опциона по более низкой цене может не дать гарантии того, что продавец выполнить свои обязательства, оговоренные в соглашении, поскольку полученных им «премиальных» может просто оказаться недостаточно для составления портфеля, гарантирующего выполнение «платёжного поручения»,
В то же самое время величина этих «премиальных» не должна давать продавцу арбитражных возможностей, т.е. возможностей поручения безрискового дохода.
Из всего вышеизложенного становится очевидным важность быстрого и точного нахождения цены опциона в любой момент времени. И здесь исследователи этого вопроса столкнулись с определенными проблемами. Дело в том, что для количественной оценки стоимости опциона нельзя использовать ставшие уже традиционными методы дисконтирования. Они предполагают прогнозирование потока денежных средств, связанного с владением каким-либо активом (или его эксплуатацией), а также приведение этих денежных потоков к настоящему моменту времени для определения текущей стоимости (ценности) актива. При этом ожидаемый денежный поток должен дисконтироваться по ставке, равной альтернативным издержкам. Определить же их точную величину для опциона традиционными методами невозможно, так как риск его изменяется при каждом изменении стоимости и срока жизни лежащего в основе опциона актива. Использование в этом случае одной ставки, типа средневзвешенной стоимости капитала (WACC), приводит к ошибочным результатам.
Для решения этой проблемы был разработан целый ряд различных моделей, таких как модели Black - Scholes, Cox - Ross - Rubinstein, Whaley, Garman - Kohlhagen, Merton. Среди этих моделей модель Кокса - Росса -Рубинштейна (CRR-модель) является наиболее точной. Как показывает практика, её использование обосновано в большинстве случаев, а расхождения между фактической ценой опциона и теоретической у ликвидных инструментов лежит в пределах рыночного спрэда между ценами покупки и продажи. Это наилучший выбор для Европейских опционов на ценные бумаги, индексов или долговых обязательств правительства. С помощью формулы Кокса - Росса - Рубинштейна достигается полное описание стратегии риск - нейтрального управления для опциона покупателя и опциона продавца, то есть позволяет определить паритет цен покупателя и продавца. Именно в рамках этой модели удаётся полно объяснить основные задачи финансовой математики и методы управления рисками, связанными с платёжными обязательствами (хеджирование) и портфельным инвестированием.
Еще одним преимуществом этой модели является то, что ее можно использовать для вычисления «справедливой» цены на неполных рынках.
Вывод модели Кокса – Росса - Рубинштейна на основе стохастического анализа (теории мартингалов) приводится во второй части дипломного проекта. Изложение сопровождается конкретными примерами, иллюстрирующими применение модели на практике. В рамках данного раздела даётся описание биномиального
-рынка и основные определения связанные с ним, а также доказана эквивалентность
-рынка и неполного
-рынка, что позволяет использовать формулу Кокса-Росса-Рубинштейна для нахождения «справедливой» цены на биномиальном
-рынке с ограничениями.
Итогом дипломного проекта станет программа, выполненная на языке Microsoft Visual Basic 6.0, позволяющая быстро и точно рассчитать «справедливую» цену опциона на указанном рынке.

и
. (2.36)
В частности,
и, значит,
– хедж для
.
Для любого другого хеджа
имеем по свойствам прогнозов, что


(2.37)
Следовательно,
– минимальный хедж для обязательства
.
Назовем ценой обязательства
начальный капитал такого хеджа
, который, как указывалось выше и реализовывалось в примерах, в точности равен
.
Найдем выраженную в терминах параметров биномиальной модели цену опциона покупателя. В этом случае соответствующее платежное обязательство

. (2.38)
Данная производная ценная бумага дает право её держателю в момент
купить акцию не по рыночной цене
, а по заранее оговоренной цене
. При этом эмитент опциона обязан продать акцию по этой цене
.
Согласно изложенной методологии имеем, что


(2.39)
Следовательно, необходимо найти указанное математическое ожидание.
Для этого вычислим




Определяя
, приходим к следующему виду
:

(2.40)
где
– целая часть числа
.
Учитывая очевидные равенства

(2.41)
находим, что


Используя свойства стохастических экспонент и представление цен акций в виде
, находим, что








Вводя новые обозначения


приходим к классической формуле Кокса-Росса-Рубинштейна


(2.43)
Приведенная формула дает значение цены платежного обязательства
в момент
. Анализ методологии приводит к заключению, что цена этого обязательства при
будет определяться формулой


(2.44)
где
.
Величина
есть капитал минимального хеджа в момент
, а структура приведенной формулы для
такова, что минимальный хедж определяется рисковой компонентой
. Другая компонента
определяется из условия самофинансируемости.
Таким образом, с помощью формулы Кокса-Росса-Рубинштейна достигается полное описание стратегии риск-нейтрального управления для опциона покупателя.
Еще один популярный опцион – опцион продавца с обязательством
дает право продать акцию не по рыночной ее стоимости
, а по заранее оговоренной цене
. Графики платежных функций обоих опционов указаны ниже:



Рис. 4. Платежные функции опционов call и put.
Обозначим цену опциона продавца через
. Далее, с учетом очевидного равенства



и "мартингальности"
получаем, что


(2.45)
Указанная взаимосвязь, называемая паритетом цен покупателя и продавца, позволяет пересчитывать эти опционы один через другой.
Следующее замечание состоит в том, что для целого класса платежных обязательств вида
, где
, – гладкая функция, цена может быть найдена через цену опциона покупателя.
По формуле Тейлора, данная гладкая функция может быть представлена в виде

.
Подставляя в это равенство
, деля на
и усредняя по
, получим, что


Таким образом, зная формулу Кокса-Росса-Рубинштейна, можно вычислить цену любого другого опциона с гладкой функцией выплат.

2.5. Неполные рынки. Арбитражные и безарбитражные цены активов на неполных рынках.
Остановимся на содержательной стороне введенных понятий "верхняя цена" и "нижняя цена'!
Если Вы продаете контракт (с функцией выплаты
), то, естественно, Вы хотели бы его продать подороже. Однако Вы должны учитывать и интересы покупателя, желающего купить надежный контракт по низкой цене. С учетом противоположности этих интересов Вы, как продавец, должны определить для себя ту минимально допустимую цену продажи, при которой, с одной стороны, Вы будете в состоянии выполнить условия контракта (т.е. выплатить
в момент
) и, с другой стороны, не будете иметь арбитражной возможности, т. е. безрискового дохода (или, как еще говорят, не будете иметь free lunch - "бесплатного ленча"), поскольку у покупателя нет, вообще говоря, никаких причин на это соглашаться.
Если же Вы покупаете контракт, то Вы, конечно, хотели бы его купить по малой цене, но все же такой, что она не создает для Вас арбитражной возможности, т. е. получения Вами безрискового дохода, поскольку и у продавца нет никаких причин на это соглашаться.
Покажем теперь, что введенные выше "верхние" и "нижние" цены
и
свойством, что интервалы
и
являются теми (максимальными) множествами цен, которые приводят к арбитражным возможностям для покупателя и для продавца соответственно.
Пусть контракт имеет стоимость
и нашелся покупатель, который его купил. Тогда продавец контракта может получить free lunch, поступив следующим образом.
Из полученной суммы
он изымает
такое, что
и покупает на эту сумму ценные бумаги в соответствии с портфелем
, у которого капитал
и
момент
. Такой портфель заведомо существует в силу определения
и того, что
.(По другому эту операцию можно проинтерпретировать так: продавец инвестирует на
-рынке сумму
, покупал
облигаций и
акций в момент
согласно портфелю
. Для которого, в частности,
.)
В момент времени
получаемый от обладателя этим портфелем

капитал равен
, и, следовательно, суммарный "доход-убыток" от этих двух операций (продажи контракта и покупки портфеля
) равен

(2.46)
Здесь
- величина, которую продавец получает (в моменты
и N) от двух операций, a
- величина, которую он должен выплатить в момент
и затратить на приобретение портфеля
в момент

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе рассмотрена математическая модель определения цены Европейского опциона на финансовом рынке с ограничениями , когда имеются возможности банковского депозита и кредитования.
Для создания работы были изучены вопросы, связанные с понятием производного финансового инструмента опцион; изучение вероятностных методов и моделей, мартингальная теория. Рассмотрен биномиальный
-рынок, условие его безарбитражности и полноты и
-рынок с ограничениями, доказана эквивалентность этих рынков. Введены понятия минимального хеджа и самофинансируемого портфеля, а также выведена формула Кокса-Росса-Рубинштейна.
Результатом выполнения дипломной работы стала программа «Опцион». Она позволяет быстро, а самое главное точно получить «справедливую» цену опциона. Прежде чем начать разработку модели, были решены две задачи с помощью программы для инженерных расчетов MathCad. Основным вопросом было нахождение цены Европейского опциона на биномиальном
-рынке с ограничениями. Ввиду доказанной эквивалентности
и
рынков для нахождения справедливой цены на рынке с ограничениями можно использовать формулу Кокса-Росса-Рубинштейна. В результате получили искомые интервалы безарбитражных цен. По своей сути решение этих задач являлось алгоритмом для программирования модели.
Таким образом, с помощью программы «Опцион» была достигнута основная цель: определение цены Европейского опциона на биномиальном рынке с ограничениями.

Список литературы

Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа, М.: Дело, 2003.
Шарп У., Александер Г., Беэли Дж. Инвестиции: Пер. с англ., М.:ИНФРА-М, 2006-XII, 1028 с.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, М.: Фазис, 1998.
Ананьев А., Федоров А. Самоучитель Visual Basic 6.0. --- СПб: БХВ-Петербург, 2003.